Métropole, juin 2021

On considère l'équation différentielle \((E)\)    \(y'= y+2x\text e^x\) .
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble \(\mathbb R\) des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

1.  Soit \(u\) la fonction définie sur  \(\mathbb R\) par \(u(x) = x^2\text e^x\) . On admet que \(u\) est dérivable et on note \(u'\) sa fonction dérivée. Démontrer que   \(u\)   est une solution particulière de \((E)\) .

2. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\) . On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par  \(g(x) = f(x) - u(x)\) .
    a. Démontrer que si la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \((E)\) alors la fonction \(g\) est solution de l'équation différentielle  \(y' = y\) . On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
    b. À l'aide de la résolution de l'équation différentielle \(y' = y\) , résoudre l'équation différentielle \((E)\) .

3. Étude de la fonction \(u\) .
    a. Étudier le signe de \(u'(x)\) pour  \(x\) variant dans \(\mathbb R\) .
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction \(u\) sur \(\mathbb R\) (les limites ne sont pas demandées).
    c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(u\) est concave.